##### 可逆矩阵 - 可逆矩阵 [[可逆算子|算子]] - **可逆矩阵** $A$ 是[[方阵]], 满足存在一个同型矩阵 $B$ 使得 $AB=BA=I$, 其中 $I$ 为[[单位矩阵]], $B$ 为 $A$ 的**逆矩阵**, 记为 $A^{-1}$. $A$ 是可逆的充要条件是[[行列式]] $|A|\neq0$ - $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ - $AB=C \to B=A^{-1}C$ - 运算律 - $(A_1A_2...A_n)^{-1}=A_n^{-1}A_{n-1}^{-1}...A_1^{-1}$ - $A^{-k}=(A^{-1})^k$ - $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ - $(A^{-1})^* = (A^*)^{-1}$ - 计算方法 - $\begin{bmatrix} A & I\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} I & A^{-1}\end{bmatrix}$ [[初等变换|初等行变换]] - $\begin{bmatrix} A \\ I\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix} I \\ A^{-1}\end{bmatrix}$ [[初等变换|初等列变换]] - $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\text{adj}(A)$ [[伴随矩阵]] >[!example]- 可逆矩阵 > - $A=\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -3 & -7 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} -7 & -5 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ > - $A^{-1}=B$ > - $AB=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $BA=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ > - $A\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7\\-10 \end{bmatrix}$ > - $A^{-1}\begin{bmatrix} 7\\-10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}$