##### 向量 - 向量 - **向量**被正式定义为[[向量空间]]的元素, 不存在所谓向量的单一事物, 因为向量只是遵守一堆规则的对象. [[坐标向量]]是向量在域上的数值表达, [[向量组]]是向量空间中一组向量. 向量可通过[[范数]], [[度量]], [[内积]]等概念过渡到其他主题. 最直观的向量是[[几何向量]]. 下文非正式描述其中一类具有方向的向量或者说坐标向量, 这种方向可以视作[[映射]], 向量维数或者说方向数是映射的[[集合基数]], 例如[[序列|有限序列]]是可数有限维向量, [[序列|无限序列]]是可数无限维向量, [[实函数]]是不可数无限维向量. 可数的元素称为分量, 可用一列或一行的[[矩阵]]表示, 即[[向量矩阵]], 称为列向量或行向量, 不可数的用函数表示. 所有元素都是零称为零向量 $\mathbf{0}$. 向量基础运算是加法和数乘可直观定义为对应维度的值相加及数乘 - 序列向量 - $\mathbf{a}=n\mapsto a_n$ - $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)$ - $\lambda\mathbf{a}=(\lambda\mathbf{a_1},\lambda\mathbf{a_2},...,\lambda\mathbf{a_n})$ - 函数向量 - $\mathbf{a}=x\mapsto f(x)$ - $\mathbf{a}+\mathbf{b}=f(x)+g(x)$ - $\lambda\mathbf{a}=\lambda f(x)$ - 元组或矩阵表示 - $\mathbf{a}=(a_1,a_2,...,a_n)$ - $\displaystyle\mathbf{a_1} = \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}$, $\displaystyle\mathbf{a_2} =\begin{bmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}$, $\mathbf{a_1}=\mathbf{a_2}^T$ >[!example]- 向量 > - 可数有限维的向量 > - $3$ 维向量 $\mathbf{a}_n=n,n=\{1,2,3\}$ $\begin{cases} a_1=1 \\ a_2=2 \\ a_3=3 \end{cases}$ > - 可数无限维的向量 > - 无限维向量 $\mathbf{a}_n=n,n\in\mathbb{Z}^+$ $\begin{cases} a_1=1 \\ a_2=2 \\ a_3=3 \\...\end{cases}$ > - 不可数无限维向量 > - 无限维向量 $\mathbf{a}_x=x^2,x\in\mathbb{R}$