##### 向量函数微分 - 向量函数微分 - **向量函数微分**是对[[实函数|向量函数]]值微小变化量的线性近似. 向量函数是可微的, 如果每个分量函数都是可微的, 向量函数是光滑的, 如果每个分量函数都是光滑的. 对于可微多元向量函数, [[导数]]推广为[[雅可比矩阵]], 也就是说通过雅可比矩阵描述向量变化率, 并且等价于各分量导数组合, [[微分]]即[[线性组合]] - $f(x)=f(x_0)+f'(x)\cdot(x-x_0)+o(x-x_0)$ - $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)+\mathbf{J}(\mathbf{x}_0)\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+o(||\mathbf{x}-\mathbf{x}_0||)$ - $\mathbf{J}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \nabla^{\mathrm T} f_1 \\ \vdots \\ \nabla^{\mathrm T} f_m \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{bmatrix}$ - 示例 - $\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}$, 导数 $\mathbf{r}'(t)$ 表示曲线[[切向量]], 微分 $\text{d}\mathbf{r}$ 表示曲线上的微小位移向量 - $\displaystyle\mathbf{r}'(t)=\frac{{\rm d}{\mathbf{r}}}{{\rm d}t}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}=\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\mathbf{i}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\mathbf{j}$ - ${\rm d}\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\text{d}t=(\text{d}f,\text{d}g)$ - $\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+ h(t)\mathbf{k}$ , 导数 $\mathbf{r}'(t)$ 表示曲线[[切向量]], 微分 $\text{d}\mathbf{r}$ 表示曲线上的微小位移向量 - $\displaystyle\mathbf{r}'(t)=\frac{{\rm d}{\mathbf{r}}}{{\rm d}t}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}=\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}\mathbf{i}+\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t}\mathbf{j}+\frac{{\rm d}h}{{\rm d}t}\mathbf{k}$ - ${\rm d}\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\text{d}t=(\text{d}f,\text{d}g,\text{d}h)$ - $\mathbf{r}(u,v) = f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+ h(u,v)\mathbf{k}$, 偏导数表示曲面[[切向量]], 微分 $\text{d}\mathbf{r}$ 表示曲面上的切平面, 两个偏导数也是是切平面的基向量 - $\displaystyle \mathbf{r}_u'(u,v)=\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u} = \frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\mathbf{i} + \frac{\partial g(u,v)}{\partial u}\mathbf{j} + \frac{\partial h(u,v)}{\partial u}\mathbf{k}$ - $\displaystyle\mathbf{r}_v'(u,v)=\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v} = \frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\mathbf{i} + \frac{\partial g(u,v)}{\partial v}\mathbf{j} + \frac{\partial h(u,v)}{\partial v}\mathbf{k}$ - $\mathbf{J}= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial u} & \dfrac{\partial f}{\partial v}\\ \dfrac{\partial g}{\partial u} & \dfrac{\partial g}{\partial v} \\ \dfrac{\partial h}{\partial u} & \dfrac{\partial h}{\partial v}\end{bmatrix}$ - ${\rm d}\mathbf{r}= \mathbf{J}\cdot\text{d}\mathbf{x}= \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \text{d}u + \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \text{d}v$