##### 向量空间 - 向量空间 - **向量空间** $V$ 是[[域]] $\mathbb{F}$ 上具备向量加法和标量乘法, 并满足一系列[[向量空间运算律|运算律]]的[[代数结构]], 空间元素称为[[向量]], 一组向量称为[[向量组]]. 向量空间的[[向量空间的基|基]], [[向量空间的维数|维数]]和[[向量空间的坐标系|坐标系]]是其结构. [[子空间]]是向量空间中一个同样服从运算律并且包括零向量的子集. 向量空间对应[[对偶空间]]. 关系有[[向量空间的同构|同构]], 运算有[[向量空间的直积|直积]], [[向量空间的张量积|张量积]]等, 涉及[[多重线性代数]] - $\mathbb{F}^n$ 是有限序列向量构成的 $n$ 维向量空间, 例如 $\mathbb{R}^2$ - $\mathbb{F}^\infty$ 是无限序列向量构成的无限维向量空间, 例如 $\mathbb{R}^\infty$ - $\mathbb{F}^S$ 是 $S$ 集合(区间)上的函数向量构成的向量空间, 例如 $\mathbb{R}^{[0,1]}$ - 向量空间子类 - [[赋范向量空间]] - [[巴拿赫空间]] - [[内积空间]] - [[欧氏空间]] - [[酉空间]] - [[希尔伯特空间]] - [[拓扑向量空间]] >[!example]- 向量空间 >- $\mathbb{F}^n$ 是有限序列向量构成的向量空间, $\mathbb{R}^n$ 是[[实数]][[域]]上的[[实向量空间]] , $\mathbb{C}^n$ 是[[复数]][[域]]上的[[复向量空间]] > - $\mathbb{R}^2$ 是 $2$ 维实向量空间, 可以以 $\{(1,0),(0,1)\}$ 为基, 其中向量 $\mathbf{a}=(3,4)$ 显然是基的线性组合 > - $\mathbb{C}^2$ 是 $2$ 维复向量空间, 可以以 $\{(1,0),(0,1)\}$ 为基, 也可以是 $\{(1,i),(i,1)\}$, 其中向量 $\mathbf{a}=(3,4+i)$ 显然是基的线性组合 >- $\mathbb{F}^S$ 是 $S$ 集合(区间)上的函数向量构成的向量空间, 也是[[函数空间]], $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的实值函数, 实值函数加法和标量乘仍然是实值函数符合向量空间运算律 > - $\mathbb{F}[x]$ 是无限维的一元多项式空间, 是由[[多项式函数|一元多项式函数]]组成的集合, $\mathbb{F}_n[x]$ 是变量次数不超过 $n$ 次的 $n+1$ 维一元多项式空间, 例如 $\mathbb{R}_2[x]={\rm Span}\{1,x,x^2\}$ 是以 $\{1,x,x^2\}$ 为基的 $3$ 维一元多项式空间, 其中向量 $\mathbf{a}=1+2x+3x^2$, $\mathbf{b}=3+6x+2x^2$ 显然是基的线性组合