##### 向量空间的坐标系 - 向量空间的坐标系 - **向量空间的坐标系**是在特定[[向量空间的基|基]]下[[向量]]的数值表达方式, 它将抽象的向量与具体的数值联系起来, 方便计算和几何解释. [[向量空间]] $V$ 中向量 $\mathbf{a}$ 相对于一个基 $\mathcal{B}$ 的**坐标**是被基向量[[线性组合|线性表示]]时的系数 $[\mathbf{a}]_\mathcal{B}=(c_1,c_2,...,c_n)$, 并且这些系数属于向量空间的域, 也称为 $\mathbf{a}$ 相对于 $\mathcal{B}$ 的[[坐标向量]]. 这种从向量到坐标向量的映射过程 $f:\mathbf{a}\mapsto[\mathbf{a}]_\mathcal{B}$ 称为[[坐标映射]], 由于更改基使得向量的一个坐标向量映射到另一个的过程 $f:[\mathbf{a}]_\mathcal{B}\mapsto[\mathbf{a}]_\mathcal{C}$ 称为[[基的变换]] - $\mathcal{B}=\{\mathbf{b_1},\mathbf{b_2},...,\mathbf{b_n}\}$ - $\displaystyle\mathbf{a}=c_1\mathbf{b_1}+c_2\mathbf{b_2}+\cdots+c_n\mathbf{b_n}=\sum^{n}_{i=1}c_i\mathbf{b}_i$ - $[\mathbf{a}]_\mathcal{B}=\begin{bmatrix} c_1&c_2&\cdots&c_n\end{bmatrix}^T$ , $[\mathbf{a}]_\mathcal{B}\in\mathbb{F}^n$ >[!example]- 向量空间的坐标系 >- $\mathbf{a}=(1,1)$ > - 标准基 $B=\{(1,0),(0,1)\}$ > - $\mathbf{a}=\mathbf{b_1}+\mathbf{b_2}$, $[\mathbf{a}]_\mathcal{B}=(1,1)$ > - 基 $C=\{(1,2),(0,1)\}$ > - $\mathbf{a}=\mathbf{c_1}-\mathbf{c_2}$, $[\mathbf{a}]_\mathcal{C}=(1,-1)$ > - 基 $D=\{(-1,0),(0,1)\}$ > - $\mathbf{a}=-\mathbf{d_1}+\mathbf{d_2}$, $[\mathbf{a}]_\mathcal{D}=(-1,1)$