##### 向量空间的定向性 - 向量空间的定向性 - **向量空间的定向性**是指为[[向量空间]]选择一个方向或取向, 本质上是对其[[向量空间的基|有序基]]的某种一致性约定. 具体来说, 对于一个[[实向量空间]], 定向性是通过定义其有序基的[[等价关系|等价类]]来描述的. 设 $V$ 是 $n$ 维实向量空间, 取任意两个有序基 $\mathcal{B} = (\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)$ 和 $\mathcal{B}' = (\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n)$, 存在[[基的变换]] $A : V \to V$ 将 $\mathcal{B}$ 映到 $\mathcal{B}'$, 即 $\mathbf{w}_j = \sum_i a_{ij} \mathbf{v}_i$, 通过[[行列式]]正负判断同向和反向, 如果 $\det(A) > 0$, 称 $\mathcal{B}$ 与 $\mathcal{B}'$ 同向, 如果 $\det(A) < 0$, 称 $\mathcal{B}$ 与 $\mathcal{B}'$ 反向, 定向就是将所有同向基划为同一类, 从而把向量空间的基分为正定向与负定向两类, 并且选择其中正定向一类作为空间的标准定向 - 在 $\mathbb{R}^2$ 中, 定向可以理解为逆时针或顺时针. $\{(1,0), (0,1)\}$ 表示逆时针定向, 定义了一个标准定向, 而 $\{(0,1), (1,0)\}$ 表示顺时针定向 - 在 $\mathbb{R}^3$ 中, 定向对应于右手规则或左手规则, 右手基底 $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ 定义了一个标准定向, 任何通过正行列式变换得到的基底都属于同一定向