##### 向量空间的张量积 - 向量空间的张量积 - **向量空间的张量积**是一种将多个[[向量空间]]组合成一个新的向量空间并且具有[[张量积的泛性质|泛性质]]的构造方法. 设域 $\mathbb{F}$ 上向量空间 $V$ 和 $W$, 它们的**张量积** $V \otimes W$ 是一个新的向量空间, 它的元素称为[[张量]], 具体地, 给定 $\mathbf{v} \in V$ 和 $\mathbf{w} \in W$, 张量积 $V \otimes W$ 是由形如 $\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}$ 的元素生成的向量空间, 正式定义为[[对偶空间]]的[[双线性泛函]]构成的空间 $B(V',W')$, 对于 $(\mathbf{v}',\mathbf{w}')\in V'\times W'$ **张量**作为双线性泛函满足 $(\mathbf{v}\otimes \mathbf{w})(\mathbf{v}',\mathbf{w}')=\mathbf{v}'(\mathbf{v})\mathbf{w}'(\mathbf{w})$ . 可以构造[[内积空间的张量积]] - 张量积与张量 - $V \otimes W=B(V',W')$ - $\mathbf{v}\otimes \mathbf{w}: V'\times W'\to\mathbb{F}$ - $(\mathbf{v}\otimes \mathbf{w})(\mathbf{v}',\mathbf{w}')=\mathbf{v}'(\mathbf{v})\mathbf{w}'(\mathbf{w})$ - 双线性 - $(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) \otimes \mathbf{w} = \mathbf{v}_1 \otimes \mathbf{w} + \mathbf{v}_2 \otimes \mathbf{w}$ - $\mathbf{v} \otimes (\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2) = \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}_1 + \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}_2$ - $\lambda(\mathbf{v}\otimes \mathbf{w})=(\lambda \mathbf{v})\otimes \mathbf{w}=\mathbf{v}\otimes(\lambda \mathbf{v})$ - 基 - $V = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ - $W = \{ \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_m \}$ - $V\otimes W=\{ \mathbf{v}_i \otimes \mathbf{w}_j \mid 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m \}$ - 维数 - $\dim{(V\otimes W)}=\dim{V}\dim{W}$ - 坐标 - $\displaystyle\mathbf{v} \otimes \mathbf{w} = (\sum_{i=1}^m a_i \mathbf{v}_i) \otimes (\sum_{j=1}^n b_j \mathbf{w}_j)$ - $\displaystyle\mathbf{v} \otimes \mathbf{w} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_i b_j (\mathbf{v}_i \otimes \mathbf{w}_j)$ >[!example]- 张量积 >- 两个二维向量空间的张量积 > - 设 $V = W = \mathbb{R}^2$, 其基为 > - $V: \{e_1, e_2\}, \quad W: \{f_1, f_2\}$ > - 张量积 $V \otimes W$ 的基为 > - $\{e_1 \otimes f_1, e_1 \otimes f_2, e_2 \otimes f_1, e_2 \otimes f_2\}$ > - 取 $v = 2e_1 + 3e_2 \in V$, $w = 4f_1 + 5f_2 \in W$ 它们的张量积 > - $v \otimes w = (2e_1 + 3e_2) \otimes (4f_1 + 5f_2)$ > - 使用双线性性展开 > - $v \otimes w = 2e_1 \otimes 4f_1 + 2e_1 \otimes 5f_2 + 3e_2 \otimes 4f_1 + 3e_2 \otimes 5f_2$ > - 化简 > - $v \otimes w = 8(e_1 \otimes f_1) + 10(e_1 \otimes f_2) + 12(e_2 \otimes f_1) + 15(e_2 \otimes f_2)$