##### 向量空间运算律 - 向量空间运算律 - [[向量空间]]是一个[[域]] $\mathbb{F}$ 上定义的[[代数结构]] $V$, 具备向量加法和标量乘法, 并满足一系列**运算律** - 向量加法 $+ : V \times V \to V$, 将两个向量相加仍得到 $V$ 中的向量 - 数乘运算 $\cdot : \mathbb{F} \times V \to V$, 将数域标量与向量相乘仍在 $V$ 中 - 对任意 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in V$, $m,n\in \mathbb{F}$ 满足以下运算律 - 加法封闭性 $\mathbf{a}+\mathbf{b}\in V$ - 加法交换律 $\mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c}$ - 加法结合律 $\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$ - 加法单位元 存在零向量 $\mathbf{0}$, $\mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{a}$ - 加法逆元 存在负向量 $-\mathbf{a}$, $\mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = 0$ - 数乘封闭性 $m\mathbf{a}\in V$ - 数乘分配律 (对标量) $m(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = m\mathbf{a} + m\mathbf{b}$ - 数乘分配律 (对向量) $(m + n)\mathbf{a} = m\mathbf{a} + n\mathbf{a}$ - 数乘结合律 $m(n\mathbf{a}) = (mn)\mathbf{a}$ - 数乘单位元 $1\mathbf{a} = \mathbf{a}$