##### 向量组的秩 - 向量组的秩 - **向量组的秩**是[[向量组]]任一[[极大线性无关组]]所含向量的个数, 全由零向量组成的向量组的秩为 $0$ . 向量组的秩定量描述其[[线性相关]]的程度, 秩越小相关越强, 越大相关越弱. 当秩达到最大值, 与向量组所含向量的个数相等, 该向量组完全线性无关 - 记做 ${\rm rank}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}\}$ - 若 ${\rm rank}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}\}=n$, 则向量组完全线性无关 - 若 ${\rm rank}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}\}<n$, 则向量组部分线性相关 - 若 ${\rm rank}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}\}=1$, 则向量组完全线性相关 >[!example]- 向量组的秩 > - $\mathbf{a}_1 = (1, 2, 3)$, $\mathbf{a}_2 = (2, 4, 6)$, $\mathbf{a}_3 = (3, 6, 9)$ > - 向量组 $(\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\mathbf{a_3})$ 有 $3$ 个只含 $1$ 个向量的极大线性无关组 $(\mathbf{a_1}),(\mathbf{a_2}),(\mathbf{a_3})$ > - 所以 ${\rm rank}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\mathbf{a_3}\}=1$ > - 向量组完全线性相关, 这三个向量在三维空间中共线