##### 哈恩-巴拿赫定理 - 哈恩-巴拿赫定理 - **哈恩-巴拿赫定理**表示定义在某个[[赋范向量空间]]的[[子空间]]上的[[有界线性算子|有界线性泛函]]可以推广到整个空间, 同时保持有界性即范数不变, 这保证了赋范向量空间的[[对偶空间]]上存在足够多的连续线性泛函. 哈恩-巴拿赫定理有多种形式, 赋范空间形式是更常用的形式, 适用于有范数结构的场景, 保证了延拓泛函的有界性. 设 $V$ 是一个赋范向量空间, $M \subset V$ 是一个子空间, $f: M \to \mathbb{K}$ 是一个有界线性泛函, 即存在 $C \geq 0$, 使得 $|f(x)| \leq C \|x\|$, $x \in M$, 则存在一个有界线性泛函 $F: V \to \mathbb{K}$ 满足 $F|_M = f$, 即 $F$ 在 $M$ 上与 $f$ 一致, 并且 $\|F\| = \|f\|$, 即延拓后的泛函范数不变