##### 商环 - 商环 - **商环**是[[环]]的[[商集]], 将环中的元素按照[[环理想|双边理想]]进行[[集合划分|划分]]. 给定环 $R$ 和其双边理想 $I$, 商环 $R/I$ 是由陪集 $a + I$, $a \in R$ 构成的集合 - $R/I = \{a + I \mid a \in R\}$ >[!example]- 商环 >- 环, $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$, 加法单位元为 $0$, 乘法单位元为 $1$, 是整环和主理想整环 >- 理想, $n\mathbb{Z} = \{ nk \mid k \in \mathbb{Z} \} \subseteq \mathbb{Z}$, 主理想, 由 $n$ 生成 > - 加法封闭性, $nm + nk = n(m + k) \in n\mathbb{Z}$ > - 加法单位元, $0 = n \cdot 0 \in n\mathbb{Z}$ > - 加法逆元, 对于 $nk \in n\mathbb{Z}$, $-nk = n(-k) \in n\mathbb{Z}$ > - 吸收性, 对于 $r \in \mathbb{Z}$, $nk \in n\mathbb{Z}$, 有 $r \cdot nk = n(rk) \in n\mathbb{Z}$ >- 商环, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{ [0], [1], \ldots, [n-1] \}$ > - 加法, $[a] + [b] = [a + b]$ > - 乘法, $[a] \cdot [b] = [a \cdot b]$ > - 单位元, 加法单位元为 $[0]$, 乘法单位元为 $[1]$