##### 商空间 - 商空间 - **商空间**是描述[[向量空间]]中[[等价关系]]的[[商集]]. 设 $W$ 是 $V$ 的子空间, 商空间 $V/W$ 是由 $W$ 的所有平移构成的集合 $V/W=\{\mathbf{v}+W\mid \mathbf{v}\in V\}$, 其中 $\mathbf{v}+W$ 是 $\mathbf{v}$ 的等价类 - $V/W=\{\mathbf{v}+W\mid \mathbf{v}\in V\}$ - $\dim(V / W) = \dim(V) - \dim(W)$ >[!example]- 商空间 >- 假设 $V = \mathbb{R}^3$, $W = \{(x, 0, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的一个子空间, 即 x-轴, 那么商空间 $\mathbb{R}^3 / W$ 可以理解为 “把 x-轴上的所有点都看作相同”, 结果就是一个二维空间 $\mathbb{R}^2$ >- 对于任意向量 $\mathbf{v}=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$, 其等价类为 $\mathbf{v}+W=\{(x+a,y,z)\mid a\in\mathbb{R}\}$, 这表示所有在 x-轴方向上平移的向量都属于同一个等价类, 换句话说, $\mathbf{v}+W$ 是一个平行于 x-轴的直线, 该直线是等价的点集 >- 例如, 直线 $(x,1,2)$ 和直线 $(x,3,4)$ 在商空间中分别对应不同的点, 是不同的等价类