##### 商群 - 商群 - **商群**是[[群]]的[[商集]], 将群中的元素按照[[正规子群]]进行[[集合划分|划分]], 然后将每个[[陪集]]看作一个商群元素. 设 $H$ 是群 $G$ 的正规子群, 则 $H$ 的所有左陪集或右陪集构成的集合在如下运算下构成一个群, 称为商群 - $G / N = \{ gN \mid g \in G \}$ - $(aH) \cdot (bH) = (ab)H$ >[!example]- 商群 >- 群 $G = \mathbb{Z}$, 运算为加法 >- 正规子群 $N = 4\mathbb{Z} = \{ \ldots, -8, -4, 0, 4, 8, \ldots \}$ > - 验证子群, 加法封闭, 包含 $0$, 逆元满足 > - 验证正规, $G$ 是阿贝尔群, 所有子群正规 >- 构造商群 $G/N$ > - 陪集 > - $0 + N = 4\mathbb{Z}$ > - $1 + N = \{ \ldots, -3, 1, 5, 9, \ldots \}$ > - $2 + N = \{ \ldots, -2, 2, 6, 10, \ldots \}$ > - $3 + N = \{ \ldots, -1, 3, 7, 11, \ldots \}$ > - $4 + N = 0 + N$ > - 商群元素, $G/N = \{ 0+N, 1+N, 2+N, 3+N \}$ > - 运算, 模 4 加法 > - $(1+N) + (2+N) = (1+2)+N = 3+N$ > - $(3+N) + (3+N) = (3+3)+N = 6+N = 2+N$ >- 结论, $G/N \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ >- 意义, 商群将无穷群 $\mathbb{Z}$ 压缩为有限循环群