##### 商集 - 商集 - **商集**是中由[[等价关系]]划分的等价类集合得到的[[集合族]], 它反映了如何根据某种规则对集合中的元素进行[[集合划分|划分]]. 给定一个集合 $A$ 和一个等价关系 $R \subseteq A \times A$, 商集 $A / R$ 是由等价关系 $R$ 在 $A$ 上的所有等价类构成的集合. 任意两个等价类 $[a]$ 和 $[b]$ 要么完全相等, 要么不相交, 等价类的并集等于原集合, 每个等价类可以用一个代表元 $a$ 唯一标记, 因此商集是这些等价类代表元的集合 - $A / R = \{[a] \mid a \in A \}$, $[a] = \{x \in A \mid (x, a) \in R\}$ >[!example]- 整数的奇偶划分 >- 集合 $A = \mathbb{Z}$, 等价关系 $R$ 定义为同余 $x \, R \, y \iff x \equiv y \pmod{2}$ >- 等价类为偶数 $[0] = \{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots \}$, 奇数 $[1] = \{ \dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots \}$ >- 整数的奇偶划分商集为 $\mathbb{Z} / R = \{ [0], [1] \}$