##### 坐标映射 - 坐标映射 - **坐标映射**指[[向量]]到给定[[向量空间的基|基]]上[[坐标向量]]的[[线性变换]] $f:\mathbf{a}\mapsto[\mathbf{a}]_\mathcal{B}$, 也是一个从 $V$ 到 $\mathbb{F}^n$ 的[[向量空间的同构|同构]] $f:V\to\mathbb{F}^n$ , 此时 $\mathbb{F}^n$ 也称为坐标向量空间, 例如[[实向量空间|实坐标空间]] $\mathbb{R}^n$ 和[[复向量空间|复坐标空间]] $\mathbb{C}^n$. 通过基向量可以构造坐标映射矩阵 - $f(\mathbf{a}) = [\mathbf{a}]_\mathcal{B}=\begin{bmatrix} a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}^T$ - $\mathbf{a} = a_1 \mathbf{b}_1 + a_2 \mathbf{b}_2 + \dots + a_n \mathbf{b}_n$ - $f:\mathbb{F}^n\to V$, $\mathbf{a}=P_\mathcal{B}[\mathbf{a}]_\mathcal{B}$ , 变换矩阵 $P_\mathcal{B}=\begin{bmatrix} \mathbf{b_1}&\mathbf{b_2}&\cdots&\mathbf{b_n}\end{bmatrix}$ - $f:V\to \mathbb{F}^n$, $[\mathbf{a}]_\mathcal{B}=P_\mathcal{B}^{-1}\mathbf{a}$ , 变换矩阵 $P_\mathcal{B}^{-1}$ 为[[可逆矩阵|逆矩阵]] >[!example]- 坐标映射 >- $\mathbf{a}=(1,1)$ > - 标准基 $B=\{(1,0),(0,1)\}$ > - $\mathbf{a}=\mathbf{b_1}+\mathbf{b_2}$, $[\mathbf{a}]_\mathcal{B}=(1,1)$ > - $\mathbf{a}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [\mathbf{a}]_\mathcal{B}$ > - 基 $C=\{(1,2),(0,1)\}$ > - $\mathbf{a}=\mathbf{c_1}-\mathbf{c_2}$, $[\mathbf{a}]_C=(1,-1)$ > - $\mathbf{a}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} [\mathbf{a}]_C$ > - 基 $D=\{(-1,0),(0,1)\}$ > - $\mathbf{a}=-\mathbf{d_1}+\mathbf{d_2}$, $[\mathbf{a}]_D=(-1,1)$ > - $\mathbf{a}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [\mathbf{a}]_D$