##### 埃尔米特型 - 埃尔米特型 [[埃尔米特型的矩阵|矩阵]] - **埃尔米特型** $H$ 是定义在[[复向量空间]]上的半双线性型 $H:V\times V\rightarrow\mathbb{C}$ , 是对[[双线性型]]的推广, 满足半双线性性和共轭对称性, 对一个变量是线性的, 而对另一个是共轭线性的. [[二次型|复二次型]]是一个向量上的埃尔米特型, [[复数内积]]是正定埃尔米特型 - $H:V\times V\rightarrow\mathbb{C}$ , 对所有 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$, $\alpha, \beta \in \mathbb{F}$ 满足 - 半双线性性 $H(\mathbf{u},\mathbf{v})=\mathbf{u}^*A\mathbf{v}$ - $H(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v},\mathbf{w})=\alpha H(\mathbf{u},\mathbf{w})+\beta H(\mathbf{v},\mathbf{w})$ - $H(\mathbf{u},\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w})=\overline{\alpha} H(\mathbf{u},\mathbf{v})+\overline{\beta} H(\mathbf{u},\mathbf{w})$ - 共轭对称性 $A=A^*$ - $H(\mathbf{u},\mathbf{v})=\overline{H(\mathbf{v},\mathbf{u})}$ >[!example]- 埃尔米特型 >- $H((v_1,v_2,v_3), (w_1,w_2,w_3)) = \overline{v_1}w_1 + \overline{v_2}w_2 + i \overline{v_1}w_2 - i \overline{v_2}w_1 + 3 \overline{v_3}w_3$ > - 设标准基 $E=\{e_1, e_2, e_3\}$ > - $A = \begin{bmatrix} H(e_1, e_1) & H(e_1, e_2) & H(e_1, e_3) \\ H(e_2, e_1) & H(e_2, e_2) & H(e_2, e_3) \\ H(e_3, e_1) & H(e_3, e_2) & H(e_3, e_3) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & i & 0 \\ -i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$, $A=A^*$ > - $H(\mathbf{u},\mathbf{v})=\mathbf{u}^*A\mathbf{v}=\begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & i & 0 \\ -i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$