##### 埃尔米特型的矩阵 - 埃尔米特型的矩阵 - **埃尔米特型的矩阵**是[[埃尔米特矩阵]]. 具体来说埃尔米特型 $H$ 在 $V$ 中基 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 下的矩阵 $A$ 的元素可以通过作用在基向量上定义 $a_{ij} = H(e_i, e_j)$, 并且同一埃尔米特型关于不同基的矩阵表示之间是[[矩阵合同]]的 - $A = \begin{bmatrix} H(e_1, e_1) & H(e_1, e_2) & \cdots & H(e_1, e_n) \\ H(e_2, e_1) & H(e_2, e_2) & \cdots & H(e_2, e_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ H(e_n, e_1) & H(e_n, e_2) & \cdots & H(e_n, e_n) \end{bmatrix}$ - 设 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 和 $\mathbf{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ 表示在基 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 下的线性组合, 可以将这两个向量写作 - $\mathbf{x} = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n$ - $\mathbf{y} = y_1 e_1 + y_2 e_2 + \cdots + y_n e_n$ - 埃尔米特型 $H(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ 可以展开为 - $H(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = H(x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n, y_1 e_1 + y_2 e_2 + \cdots + y_n e_n)$ - $\displaystyle H(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \overline{x_i} y_j H(e_i, e_j)= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \overline{x_i} y_j A_{i,j}$ - 矩阵表示 - $H(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^* A \mathbf{y}$ - 又共轭对称性 $H(\mathbf{u},\mathbf{v})=\overline{H(\mathbf{v},\mathbf{u})}$ 有埃尔米特矩阵 - $A=A^*$