##### 域 - 域 - **域**是额外满足乘法交换律和单位元, 并且对每个非零元素都有乘法逆元的[[环]], 结合了[[整环]]和[[除环]]的特征. 例如[[有理数]], [[实数]], [[代数数]], [[复数]]都是数域, 还有[[有限域]], [[域扩张]], [[分裂域]], [[代数闭域]]等特殊构造, 具有[[伽罗瓦理论]] - $(F,+)$ 是一个[[交换群]], 满足[[结合律]], [[交换律]], [[单位元]], [[逆元]] - $(F\setminus\{0\},\cdot)$ 是一个[[交换群]], 满足[[结合律]], [[交换律]], [[单位元]], [[逆元]] - 乘法对于加法满足[[分配律]] >[!example]- 域 >- 有理数域 $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ > - 集合, $\displaystyle \left\{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right\}$ > - 加法, $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$, $b, d \neq 0$ > - 乘法, $\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$, $b, d \neq 0$ >- 性质 > - $\mathbb{Q}$ 是域, 满足加法交换群和非零元素的乘法交换群