##### 域扩张 - 域扩张 - **域扩张**是指从一个基域开始以某种方式构造包含它的更大的[[域]], 设 $K$ 是一个域, $L$ 是包含 $K$ 的更大域, 则称 $L/K$ 为一个域扩张, 而 $[L:K]$ 表示域扩张的次数定义为 $L$ 作为 $K$ 上的[[向量空间的维数]], 若 $[E : F] < \infty$, 则称为有限扩张. 特殊扩张有可分扩张, 正规扩张, [[伽罗瓦扩张]] >[!example]- 域扩张 >- $\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \}$ > - $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 是有理数 $\mathbb{Q}$ 上通过添加一个无理数 $\sqrt{2}$ 扩展得到的数域 > - $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ 是有理数 $\mathbb{Q}$ 的一个二次扩域, 因为 $\sqrt{2}$ 满足二次方程 $x^2 - 2 = 0$ > - $\mathbb{Q}[\sqrt{2}] \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2 - 2)$ 同构于多项式模 $x^2-2$ 的商环