##### 基的变换
- 基的变换
- **基的变换**指更改[[向量空间的基|基]]或者说[[向量空间的坐标系|坐标系]]使得[[向量]] $\mathbf{x}$ 从一个[[坐标向量]]映射到另一个的[[坐标变换|线性坐标变换]] $f:[\mathbf{x}]_\mathcal{B}\mapsto[\mathbf{x}]_\mathcal{C}$ , 也是一个[[可逆算子]]. **过渡矩阵** $P_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}$ 是基的变换的[[矩阵变换]]表示, 即 $[\mathbf{x}]_\mathcal{C}=P_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}[\mathbf{x}]_\mathcal{B}$ , 并且 $P_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}$ 的每列是基 $\mathcal{B}$ 在基 $\mathcal{C}$ 下的坐标向量, 而 $P_{\mathcal{C}\to \mathcal{B}}$ 即[[可逆矩阵|逆矩阵]]
- $T: V \to V$, $[\mathbf{x}]_\mathcal{C}=P_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}[\mathbf{x}]_\mathcal{B}$
- $P_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}=\begin{bmatrix} [\mathbf{b}_1]_\mathcal{C} & [\mathbf{b}_2]_\mathcal{C} & \cdots & [\mathbf{b}_n]_\mathcal{C} \end{bmatrix}$
- $P_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}} =\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\p_{m1}&p_{m2}&\cdots&p_{mn}\\\end{bmatrix}$
- 设 $\mathbf{x}\in V$ 在基 $\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \cdots, \mathbf{b}_n\}$ 下的坐标向量为 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$, 在基 $\mathcal{C} = \{\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \cdots, \mathbf{c}_n\}$ 下的坐标向量为 $(y_1, y_2, \dots, y_n)$, 可以写作线性组合
- $\mathbf{x} = x_1 \mathbf{b}_1 + x_2 \mathbf{b}_2 + \dots + x_n \mathbf{b}_n$
- $\mathbf{x} = y_1 \mathbf{c}_1 + y_2 \mathbf{c}_2 + \dots + y_n \mathbf{c}_n$
- 为了将基 $\mathcal{B}$ 下的坐标 $[\mathbf{x}]_\mathcal{B}$ 转换到基 $\mathcal{C}$ 下的坐标 $[\mathbf{x}]_\mathcal{C}$, 可以先将基 $\mathcal{B}$ 中的基向量 $\mathbf{b}_j$ 写成基 $\mathcal{C}$ 下的线性组合
- $\mathbf{b}_j = p_{1j} \mathbf{c}_1 + p_{2j} \mathbf{c}_2 + \dots + p_{mj} \mathbf{c}_m$, $j =1,2,\dots,n$
- 代入基向量 $\mathbf{b}_j$ 在基 $\mathcal{C}$ 下的表示
- $\displaystyle \mathbf{x} = \sum_{j=1}^{n}x_j\mathbf{b}_j = \sum_{j=1}^{n} x_j ( p_{1j} \mathbf{c}_1 + p_{2j} \mathbf{c}_2 + \dots + p_{mj} \mathbf{c}_m )$
- $\displaystyle \mathbf{x} = \sum_{k=1}^{m} ( \sum_{j=1}^{n} x_j p_{kj} ) \mathbf{c}_k$, $k =1,2,\dots,m$
- 因此得到向量 $\mathbf{x}$ 在基 $\mathcal{C}$ 下的表示
- $\displaystyle [\mathbf{x}]_\mathcal{C}=\sum_{j=1}^{n} x_j [\mathbf{b}_j]_\mathcal{C}$
- $P_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}=\begin{bmatrix} [\mathbf{b}_1]_\mathcal{C} & [\mathbf{b}_2]_\mathcal{C} & \cdots & [\mathbf{b}_n]_\mathcal{C} \end{bmatrix}$
- $P_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}} =\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\p_{m1}&p_{m2}&\cdots&p_{mn}\\\end{bmatrix}$
- $[\mathbf{x}]_\mathcal{C}=P_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}[\mathbf{x}]_\mathcal{B}$
- $[\mathbf{x}]_\mathcal{B}=P_{\mathcal{C}\to \mathcal{B}}[\mathbf{x}]_\mathcal{C}=(P_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}})^{-1}[\mathbf{x}]_\mathcal{C}$
>[!example]- 基的变换
>- $\mathbf{a}=(1,1)$
> - 标准基 $\mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\}$
> - $\mathbf{a}=\mathbf{b_1}+\mathbf{b_2}$, $[\mathbf{a}]_\mathcal{B}=(1,1)$
> - $\mathbf{a}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [\mathbf{a}]_\mathcal{B}$
> - 基 $\mathcal{C}=\{(1,2),(0,1)\}$
> - $\mathbf{a}=\mathbf{c_1}-\mathbf{c_2}$, $[\mathbf{a}]_\mathcal{C}=(1,-1)$
> - $\mathbf{a}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} [\mathbf{a}]_\mathcal{C}$
> - 基 $\mathcal{D}=\{(-1,0),(0,1)\}$
> - $\mathbf{a}=-\mathbf{d_1}+\mathbf{d_2}$, $[\mathbf{a}]_\mathcal{D}=(-1,1)$
> - $\mathbf{a}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [\mathbf{a}]_\mathcal{D}$
>- $P_{\mathcal{C}\to \mathcal{D}}=\begin{bmatrix} [\mathbf{c}_1]_D & [\mathbf{c}_2]_D \end{bmatrix}$
> - $[\mathbf{c}_1]_\mathcal{D}=-\mathbf{d}_1+2\mathbf{d}_2=(-1,2)$
> - $[\mathbf{c}_2]_\mathcal{D}=\mathbf{d}_2=(0,1)$
> - $P_{\mathcal{C}\to \mathcal{D}}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
> - $[\mathbf{a}]_\mathcal{D}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}[\mathbf{a}]_\mathcal{C}$