##### 复平面 - 复平面 - **复平面**是用水平的实轴与垂直的虚轴建立起来的[[复数]] $z=a+bi$ 的几何表示, 即一个有序[[实数]]对 $(a,b)$, 其中实轴表示实部, 虚轴表示虚部, 这个表示法被称为复数的坐标形式, [[共轭复数]]就是复数关于实轴的对称, [[复数圆盘|圆盘]]是复平面上一个圆形范围. 将复数 $z\in\mathbb{C}$ 与有序对 $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ 等同起来看就是把 $\mathbb{C}$ 和 $\mathbb{R}^2$ 等同起来看, 即 $\mathbb{C}$ 是一个 $1$ 维[[复向量空间]]也是一个 $2$ 维[[实向量空间]]. 复平面可建立一个[[平面直角坐标系]], 同样也可变换为[[极坐标系]], 有复数的模长 $r=|z|$ 和复数的辐角 $\displaystyle\theta=\arg(z)$, 由[[欧拉公式]]可将复数记为 $z=re^{i\theta}$. 不过辐角具有多值性, 即一个复数的幅角并不是唯一的, 而是有无数个值, 所有值相差 $2\pi$ 的整数倍, 所以很多复函数都是[[多值函数]] - $z=a+bi=(a,b)$ - $\begin{cases} r=|z|=\sqrt{a^2+b^2} \\ \theta=\arg(z)=\arctan(\frac{b}{a})= \{ \theta + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \end{cases}$ - $\begin{cases} a=r\cos\theta \\ b=r\sin\theta \end{cases}$ - $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ - $z = r \cos\theta + r\sin\theta i=re^{i\theta}$ - $z=re^{i\theta}=re^{i(\theta+2k\pi)}$