##### 复数内积 - 复数内积 - **复数内积**是有限维[[复向量空间]]的[[内积]] $\langle \cdot ,\cdot \rangle:V\times V\rightarrow\mathbb{C}$, 使得复向量空间成为一个[[酉空间]], 对所有 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ 满足 - 半双线性性, 线性和共轭线性 - $\langle\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=\alpha \langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle+\beta \langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle$ - $\langle \mathbf{u},\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w} \rangle = \overline{\alpha} \langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle + \overline{\beta} \langle \mathbf{u},\mathbf{w} \rangle$ - 共轭对称性 - $\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \rangle}$ - 正定性 - $\langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle \geq 0$, 且当且仅当 $\mathbf{v} = 0$ 时 $\langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle = 0$ - 复数内积的矩阵 - 复数内积是正定[[埃尔米特型]] $H:V\times V\rightarrow\mathbb{C}$ , 由[[埃尔米特型的矩阵]]可得复数内积在任意基下的定义为 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^* A \mathbf{y}$ , $A$ 是[[埃尔米特矩阵]] - 设 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 和 $\mathbf{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ 表示在基 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 下的线性组合, 可以将这两个向量写作 - $\mathbf{x} = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n$ - $\mathbf{y} = y_1 e_1 + y_2 e_2 + \cdots + y_n e_n$ - 埃尔米特型 $B(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ 可以展开为 - $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = B(x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n, y_1 e_1 + y_2 e_2 + \cdots + y_n e_n)$ - $\displaystyle B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \overline{x_i} y_j B(e_i, e_j)= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \overline{x_i} y_j A_{i,j}$ - 矩阵表示 - $B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^* A \mathbf{y}$ - 又共轭对称性性 $B(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\overline{B(\mathbf{y}, \mathbf{x})}$ - $A=A^*$ - 所以对于一般基 - $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle=B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^* A \mathbf{y}$ , $A=A^*$ - 常用对于标准正交基 $A=I$ - $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle=B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^* \mathbf{y}$