##### 复数运算 - 复数运算 - **复数运算**是[[复数]]的[[运算]], 基于[[实数]]定义, 主要包括[[加法]], [[减法]], [[乘法]], [[除法]], [[指数运算]], [[开方运算]], [[对数运算]] - 加法 - 设 $z_1 = a + bi,z_2 = c + di\in\mathbb{C}$, $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, 定义 $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$, 逆元为 $-z_1=-a-bi$ - [[交换律]], [[结合律]], [[单位元]], [[逆元]] - 乘法 - 设 $z_1 = a + bi,z_2 = c + di\in\mathbb{C}$, $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, 定义 $z_1\times z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$, 逆元为 $\displaystyle z_1^{-1}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$ - [[交换律]], [[结合律]], [[分配律]], [[单位元]], [[逆元]] - 减法 - 设 $z_1 = a + bi,z_2 = c + di\in\mathbb{C}$, $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, 定义 $z_1-z_2=z_1+(-z_2)= (a - c) + (b - d)i$ - 除法 - 设 $z_1 = a + bi,z_2 = c + di\in\mathbb{C}$, $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, 定义 $\displaystyle\frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}=\frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$ - 指数运算 - 设 $z=a+bi\in\mathbb{C}$, 定义 $e^z=e^{a+bi} = e^a (\cos b + i \sin b)$ - 方根运算 - 设 $z=re^{i\theta}\in\mathbb{C}$, 定义 $\displaystyle z^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{r} \left[ \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right]$, $k = 0, 1, \dots, n-1$ - 对数运算 - 设 $z=re^{i\theta}\in\mathbb{C}$, 定义 $\ln z = \ln r + i(\theta + 2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$