##### 复积分 - 复积分 - **复积分**是[[积分|积分]]在[[复数]]的推广, 实积分是[[实函数]]在[[数轴]]上进行, 而复积分是[[复函数]]在[[复平面]]的某条[[参数化曲线|曲线]]上进行, 形式上与[[曲线积分]]相似, 具有[[柯西积分定理]], [[柯西积分公式]], [[留数定理]]. 设复函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在复平面上的一条光滑曲线 $C$ 上连续, 曲线由参数方程表示为 $z(t) = x(t) + i y(t)$, $a \leq t \leq b$, 其中 $x(t)$ 和 $y(t)$ 为实值函数, 则沿曲线 $C$ 上的积分定义为 $\int_C f(z) \text{d}z$, 其中 $z'(t) = \frac{dz}{dt} = x'(t) + i y'(t)$, 可以分解为两个实积分 - $\displaystyle \int_C f(z) \text{d}z = \int_a^b f(z(t))z'(t) \text{d}t$ - $\displaystyle \int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_C \left[ u + i v \right](\mathrm{d}x + i \mathrm{d}y)$ - $\displaystyle \int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_C \left( u \mathrm{d}x - v \mathrm{d}y \right) + i \int_C \left( v \mathrm{d}x + u \mathrm{d}y \right)$