##### 多重线性型 - 多重线性型 - **多重线性型** $V$ 是定义在一个[[向量空间]]上的[[多重线性泛函]] $T:V\times V\times\cdots\times V=\mathbb{F}$, 多重线性型构成的向量空间记为 $V^{(n)}$. [[算子的行列式|行列式]]是一个交错多重线型 - $T:V\times V\times\cdots\times V=\mathbb{F}$ , 对所有 $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n \in V$, $\alpha, \beta \in \mathbb{F}$ 满足 - 多重线性性 - $T(\mathbf{v}_1,\dots,\alpha\mathbf{v}_i+\beta\mathbf{v}_j,\dots,v_m)=\alpha T(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_i,\dots,\mathbf{v}_n)+\beta T(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_j,\dots,\mathbf{v}_n)$ - 对称性 (仅适用于对称多重线性型) - $T(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_i,\dots,\mathbf{v}_j,\dots,\mathbf{v}_n)=T(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_j,\dots,\mathbf{v}_i,\dots,\mathbf{v}_n)$ - 交错性 (仅适用于交错多重线性型) - $T(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_i,\dots,\mathbf{v}_j,\dots,\mathbf{v}_n)=-T(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_j,\dots,\mathbf{v}_i,\dots,\mathbf{v}_n)$ - $T(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_i,\dots,\mathbf{v}_i,\dots,\mathbf{v}_n)=0$