##### 奇异值 - 奇异值 - **奇异值**是将一般的[[线性变换]]化为[[正算子]]后的[[特征值和特征向量|特征值]]的平方根. 设线性变换 $T\in L(V,W)$, 则有特征值非负的正算子 $T^*T$, 所以 $T$ 的奇异值 $\sigma$ 是 $T^*T$ 的特征值的非负平方根 $\sigma=\sqrt{\lambda}$, 按降序排列, 而且每个奇异值的出现次数, 等于 $T^*T$ 对应[[特征空间]]的维数, 有[[奇异值分解]] - $A^*A\mathbf{v_i}=\sigma_i^2\mathbf{v_i}\xrightarrow{\text{同乘}\mathbf{v_i}^*} \mathbf{v_i}^*A^*A\mathbf{v_i}=\sigma_i^2\mathbf{v_i}^*\mathbf{v_i}$ - $\text{左式}=\mathbf{v_i}^*A^*A\mathbf{v_i}=(A\mathbf{v_i})^*(A\mathbf{v_i})=||A\mathbf{v_i}||^2$ - $||A\mathbf{v_i}||^2=\sigma_i^2\mathbf{v_i}^*\mathbf{v_i}=\sigma_i^2\rightarrow ||A\mathbf{v_i}||=\sigma_i$ - $A^*A\mathbf{v_i}=\sigma_i^2\mathbf{v_i}\xrightarrow{\text{同乘}A} AA^*A\mathbf{v_i}=\sigma_i^2A\mathbf{v_i}$ - $AA^*\text{对于特征值}\sigma_i^2\text{有特征向量}A\mathbf{v_i}\text{且}||A\mathbf{v_i}||=\sigma_i$ - $\text{所以}\mathbf{u_i}=\frac{A\mathbf{v_i}}{\sigma_i}\text{是}AA^*\text{的标准特征向量,且有}A\mathbf{v_i}=\sigma_i\mathbf{u_i}$ - $A\mathbf{v_i}=\sigma_i\mathbf{u_i}\rightarrow AV=U\Sigma\rightarrow A = U\Sigma V^*$