##### 子环 - 子环 - **子环**是[[环]]的[[子集]], 同样满足环的所有性质. 一个非空子集 $S \subseteq R$ 是子环, 当且仅当满足加法子群和对乘法封闭, 即 $\forall a, b \in S$, $ab \in S$, $a-b\in S$ - $S \leq R\Leftrightarrow S\subseteq R$, $S\neq\emptyset$, $\forall a, b \in S$, $ab \in S$, $a-b\in S$ >[!example]- 子环 >- 实数环 > - 环, $(\mathbb{R}, +, \cdot)$, 加法单位元为 $0$, 乘法单位元为 $1$, 是交换环和域 > - 子环, $\mathbb{Z} = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \} \subseteq \mathbb{R}$ > - 加法封闭性, 对于 $m, n \in \mathbb{Z}$, $m + n \in \mathbb{Z}$ > - 乘法封闭性, 对于 $m, n \in \mathbb{Z}$, $m \cdot n \in \mathbb{Z}$ > - 加法单位元, $0 \in \mathbb{Z}$ > - 加法逆元, 对于 $m \in \mathbb{Z}$, $-m \in \mathbb{Z}$ > - 乘法单位元, $1 \in \mathbb{Z}$