##### 子空间的直和 - 子空间的直和 - **子空间的直和**是 $V$ 两个[[子空间]] $U,W$ 特殊的[[子空间的和]], 直和中的每个向量只能唯一地由给定子空间的向量和表示, 或者说要求两个子空间的交集仅为零向量, 仍然是[[向量空间]]. 多个子空间的和是直和, 当且仅当来自各个子空间的向量是线性无关, 或者当且仅当该和的维数等于各求和项维数之和. 有[[直和分解]] - $U\oplus W\iff U\cap W=\{\mathbf{0}\}$ - $\dim(U \oplus W) = \dim(U) + \dim(W)$ >[!example]- 子空间的直和 >- $V = \mathbb{R}^2$ > - $U = \text{span}\{(1, 0)\}$ 和 $W = \text{span}\{(0, 1)\}$ > - 显然 $\mathbb{R}^2 = U \oplus W$ , 因为 $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ 只能唯一地由 $(x, 0) + (0, y)$ 表示 >- $V = \mathbb{R}^3$ > - $U = \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}$ , $W = \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}$, $Z = \{(0,y,y)\mid y\in\mathbb{R}\}$ > - 显然 $U+W+Z$ 不是直和, 因为 $(0, 0, 0) = (0,1,0) + (0,0,1) + (0,−1,−1)$