##### 子群 - 子群 - **子群**是[[群]]的[[子集]], 同样满足群的所有性质, 一个非空子集 $H \subseteq G$ 是子群, 当且仅当对任意 $a, b \in H$, 都有 $ab^{-1} \in H$. 平凡子群包括单位元群 $\{e\}$ 和群本身 $G$. [[正规子群]]是一类特殊的子群. [[陪集]]描述了子群如何在群中平移. 还有特殊的子群包括[[稳定化子]], [[中心化子]]和[[正规化子]] - $H \leq G\Leftrightarrow H\subseteq G$, $H\neq\emptyset$, $\forall a,b\in H, ab^{-1}\in H$ >[!example]- 子群 >- 整数加法群 > - 群, $(\mathbb{Z}, +)$, 单位元为 $0$, 逆元是相反数 > - 子群, $3\mathbb{Z} = \{ 3k \mid k \in \mathbb{Z} \}$ > - 封闭性, $3m + 3n = 3(m+n) \in 3\mathbb{Z}$ > - 单位元, $0 \in 3\mathbb{Z}$ > - 逆元, $-3k \in 3\mathbb{Z}$ >- 对称群 $S_3$ > - 群, $S_3$​ 是 $3$ 个元素的所有排列构成的群, 阶为 $6$, 元素包括 $\{ e, (1\ 2), (1\ 3), (2\ 3), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2) \}$ > - 子群, $H = \{ e, (1\ 2) \}$ > - 封闭性, $(1\ 2) \circ (1\ 2) = e \in H$ > - 单位元, $e \in H$ > - 逆元, $(1\ 2)^{-1} = (1\ 2) \in H$