##### 完全有界集 - 完全有界集 - **完全有界集**描述的是[[度量空间]]中[[集合]]在某种意义下非常紧凑, 不仅仅是[[有界集]], 而且还能被有限个小的[[开集|开球]][[集合覆盖|覆盖]]. 在[[完备度量空间]]中, 一个集合是[[紧致空间|紧的]]当且仅当它是[[闭集]]且完全有界. 设度量空间 $(X, d)$, 一个集合 $A \subseteq X$ 被称为完全有界的, 如果 $A$ 可以被有限个半径为 $\varepsilon$ 的开球 $B(x_i, \varepsilon)$ 完全覆盖 - $\forall\varepsilon > 0$, $\exists B(x_1, \varepsilon), B(x_2, \varepsilon), \dots, B(x_n, \varepsilon)\to\displaystyle A \subseteq \bigcup_{i=1}^n B(x_i, \varepsilon)$