##### 完备度量空间 - 完备度量空间 - **完备度量空间**是一个[[度量空间]], 满足空间中的任何[[柯西序列]]都收敛在该空间之内, 例如[[有理数]]是不完备的, 而[[实数]]是完备的. 特别的还有[[巴拿赫空间]]和[[希尔伯特空间]]等. 非完备空间可以通过添加缺失的[[极限点]]进行完备化, 并且每个度量空间在其完备化上都是[[稠密集|稠密]]的. 完备空间的任一子集或者说子空间是完备的当且仅当它是一个[[闭集]]. 完备性确保柯西序列的收敛性有一些重要性质, 包括[[海涅-博雷尔定理]], [[压缩映射定理]]等 - $\forall \{x_n\} \subseteq X \text{ 是柯西序列}$, $\exists x \in X$, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \|x_n - x\| = 0$