##### 实数运算 - 实数运算 - **实数运算**是[[实数]]的[[运算]], 基于[[有理数]]和[[序列极限]]定义, 主要包括[[加法]], [[减法]], [[乘法]], [[除法]], [[指数运算]], [[开方运算]], [[对数运算]] - 加法 - 设 $a,b\in\mathbb{R}$, 由柯西序列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $a_n,b_n\in\mathbb{Q}$ 表示, 定义 $a + b = \{a_n + b_n\}$, 这里的 $\{a_n + b_n\}$ 是逐项相加的新序列 - [[交换律]], [[结合律]], [[单位元]], [[逆元]] - 乘法 - 设 $a,b\in\mathbb{R}$, 由柯西序列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $a_n,b_n\in\mathbb{Q}$ 表示, 定义 $a \times b = \{a_n \times b_n\}$, 这里的 $\{a_n \times b_n\}$ 是逐项相乘的新序列 - [[交换律]], [[结合律]], [[分配律]], [[单位元]], [[逆元]] - 减法 - 设 $a,b\in\mathbb{R}$, 由柯西序列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $a_n,b_n\in\mathbb{Q}$ 表示, 通过加法逆元定义 $a - b = \{a_n - b_n\}$, 这里的 $\{a_n - b_n\}$ 是逐项相减的新序列 - 除法 - 设 $a,b\in\mathbb{R}$, 由柯西序列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $a_n,b_n\in\mathbb{Q}$ 表示, 通过乘法逆元定义 $a \div b = \{a_n \div b_n\}$, 这里的 $\{a_n \div b_n\}$ 是逐项相除的新序列 - 指数运算 - 设 $a\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{Z}$, 递归定义 $a^0=1$, $a^{n+1}=a^n\times a$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ - 设 $\displaystyle a\in\mathbb{R}$, $b=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$, 定义 $a^b=(a^p)^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$, 当 $a<0$ 时, 分母 $q$ 必须为奇数, 否则值不为实数 - 设 $a\in\mathbb{R}^+$, $b\in\mathbb{R}$, 定义 $\displaystyle a^b=\lim_{n\to\infty}a^{b_n}=e^{b\ln{a}}$, $e^b=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b^n}{n!}$ - [[指数律]] - 方根运算 - 设 $\displaystyle a\in\mathbb{R}^+$, $n\in\mathbb{Z}$, 定义 $a$ 的 $n$ 次方根为非负实数 $x=\sqrt[n]{a}$ , 满足 $x^n=a$, 若 $n$ 为偶数且 $a>0$, 有两个实根 $\pm\sqrt[n]{a}$, 若 $n$ 为奇数且 $a\in\mathbb{R}$, 有唯一实根 $\sqrt[n]{a}$ - 对数运算 - 设 $\displaystyle a\in\mathbb{R}^+$, $b\in\mathbb{R}^+$, 定义 $a$ 的以 $b$ 为底数的对数为实数 $x=\log_b{a}$ , 满足 $b^x=a$