##### 富比尼定理 - 二重积分富比尼定理 - 函数 $f(x,y)$ 在矩形区域 $D=[a,b]\times[c,d]$ 上可积 - $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}A=\int^{d}_{c}(\int^{b}_{a}f(x,y){\rm d}x){\rm d}y$ - $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}A=\int^{b}_{a}(\int^{d}_{c}f(x,y){\rm d}y){\rm d}x$ - 函数 $f(x,y)$ 在一般区域 $D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_1(x)\leq y\leq g_2(x)\}$ 上可积, 其中 $g_1,g_2$ 在 $[a,b]$ 连续 - $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}A=\int^{b}_{a}(\int^{g_2(x)}_{g_1(x)}f(x,y){\rm d}y){\rm d}x$ - 函数 $f(x,y)$ 在一般区域 $D=\{(x,y)\mid h_1(y)\leq x\leq h_2(y), c\leq y\leq d\}$ 上可积, 其中 $h_1,h_2$ 在 $[c,d]$ 连续 - $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}A=\int^{d}_{c}(\int^{h_2(x)}_{h_1(x)}f(x,y){\rm d}x){\rm d}y$ - 三重积分富比尼定理 - 函数 $f(x,y,z)$ 在矩形区域 $D=[a,b]\times[c,d]\times[e,f]$ 上可积 - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A= \int_e^f \left( \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y,z){\rm d}x \right){\rm d}y \right) {\rm d}z$ - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A= \int_c^d \left( \int_e^f \left( \int_a^b f(x,y,z) {\rm d}x \right){\rm d}z \right) {\rm d}y$ - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A=\int_a^b \left( \int_e^f \left( \int_c^d f(x,y,z) {\rm d}y \right){\rm d}z \right) {\rm d}x$ - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A= \int_e^f \left( \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y,z) {\rm d}y \right) {\rm d}x \right) {\rm d}z$ - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A= \int_c^d \left( \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y,z) {\rm d}z\right){\rm d}x \right) {\rm d}y$ - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A= \int_a^b \left( \int_c^d \left( \int_e^f f(x,y,z){\rm d}z \right) {\rm d}y \right) {\rm d}x$ - 函数 $f(x,y,z)$ 在一般区域 $D = \big\{(x,y,z)\,|\,a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x), \, u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y) \big\}$ 上可积 - $\displaystyle\iiint_D f(x,y,z) {\rm d}V = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) {\rm d}z {\rm d}y {\rm d}x.$