##### 富比尼定理 - 富比尼定理 - **富比尼定理**刻画了用累次积分计算[[重积分]]的条件, 对于一般的[[勒贝格积分]], 富比尼定理表示绝对可积函数即积分值有限, 则积分次序可自由交换, 而托内利定理进一步表示非负可测函数即允许无穷大, 则积分次序可自由交换. 对于[[积分|黎曼积分]]条件更严格, 必须在矩形区域上黎曼可积 - $f: X \times Y \to [0,\infty]$ 是非负可测函数 - $f: X \times Y \to \mathbb{R}$ 是勒贝格可积函数 - $\displaystyle \,\iint \limits _{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} y$ - 二重积分富比尼定理 - 函数 $f(x,y)$ 在矩形区域 $D=[a,b]\times[c,d]$ 上可积 - $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}A=\int^{d}_{c}(\int^{b}_{a}f(x,y){\rm d}x){\rm d}y$ - $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}A=\int^{b}_{a}(\int^{d}_{c}f(x,y){\rm d}y){\rm d}x$ - 函数 $f(x,y)$ 在一般区域 $D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_1(x)\leq y\leq g_2(x)\}$ 上可积, 其中 $g_1,g_2$ 在 $[a,b]$ 连续 - $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}A=\int^{b}_{a}(\int^{g_2(x)}_{g_1(x)}f(x,y){\rm d}y){\rm d}x$ - 函数 $f(x,y)$ 在一般区域 $D=\{(x,y)\mid h_1(y)\leq x\leq h_2(y), c\leq y\leq d\}$ 上可积, 其中 $h_1,h_2$ 在 $[c,d]$ 连续 - $\displaystyle\iint_Df(x,y){\rm d}A=\int^{d}_{c}(\int^{h_2(x)}_{h_1(x)}f(x,y){\rm d}x){\rm d}y$ - 三重积分富比尼定理 - 函数 $f(x,y,z)$ 在矩形区域 $D=[a,b]\times[c,d]\times[e,f]$ 上可积 - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A= \int_e^f \left( \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y,z){\rm d}x \right){\rm d}y \right) {\rm d}z$ - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A= \int_c^d \left( \int_e^f \left( \int_a^b f(x,y,z) {\rm d}x \right){\rm d}z \right) {\rm d}y$ - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A=\int_a^b \left( \int_e^f \left( \int_c^d f(x,y,z) {\rm d}y \right){\rm d}z \right) {\rm d}x$ - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A= \int_e^f \left( \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y,z) {\rm d}y \right) {\rm d}x \right) {\rm d}z$ - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A= \int_c^d \left( \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y,z) {\rm d}z\right){\rm d}x \right) {\rm d}y$ - $\displaystyle\iiint_Df(x,y,z){\rm d}A= \int_a^b \left( \int_c^d \left( \int_e^f f(x,y,z){\rm d}z \right) {\rm d}y \right) {\rm d}x$ - 函数 $f(x,y,z)$ 在一般区域 $D = \big\{(x,y,z)\,|\,a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x), \, u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y) \big\}$ 上可积 - $\displaystyle\iiint_D f(x,y,z) {\rm d}V = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) {\rm d}z {\rm d}y {\rm d}x.$