##### 对偶基的变换 - 对偶基的变换 - **对偶基的变换**指[[对偶空间]]上[[基的变换]], 也就是更改[[对偶基]]使得[[线性泛函|对偶向量]] $\mathbf{x}$ 从一个[[坐标向量]]映射到另一个的[[坐标变换|线性坐标变换]] $f:[\mathbf{x}]_\mathcal{B'}\mapsto[\mathbf{x}]_\mathcal{C'}$, 对偶基的变换矩阵是原基变换矩阵 $P$ 的[[可逆矩阵|逆矩阵]][[矩阵转置|转置]] $(P^{-1})^T$ - $T: V \to V$, $[\mathbf{x}]_\mathcal{C}=P[\mathbf{x}]_\mathcal{B}$ - $T: V' \to V'$, $[\mathbf{x}']_\mathcal{C'}=(P^{-1})^T[\mathbf{x}']_\mathcal{B'}$ - 设 $V$ 的[[向量空间的基|基]]为 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\}$, $\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n\}$, 设 $V'$ 的[[对偶基]]为 $\{\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_n\}$, $\{\psi_1, \psi_2, \dots, \psi_n\}$. 并且每个对偶基向量满足克罗内克函数 - $\phi_i(\mathbf{v}_j)=\delta_{ij}$, $i,j=\{1,2,\dots,n\}$ - $\psi_i(\mathbf{w}_j)=\delta_{ij}$, $i,j=\{1,2,\dots,n\}$ - 设基的变换和对偶基的变换过渡矩阵分别为 - $\displaystyle\mathbf{w}_i = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \mathbf{v}_k$ - $\displaystyle \psi_i = \sum_{k=1}^{n} B_{ik} \phi_k$ - 则 - $\displaystyle \psi_i(\mathbf{w}_j)=\psi_i(\sum_{k=1}^{n} A_{jk} \mathbf{v}_k)=\sum_{k=1}^{n} A_{jk} \psi_i(\mathbf{v}_k)$ - $\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} A_{jk} \sum_{l=1}^{n} B_{il} \phi_l(\mathbf{v}_k)= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} A_{jk} B_{il} \delta_{lk}$ - $\displaystyle = \sum_{k=1}^{n} A_{jk} B_{ik}=\delta_{ij}$ - 所以 - $AB^T=I$ - $B=(A^{-1})^T$