##### 对偶映射 - 对偶映射 [[对偶映射的矩阵|矩阵]] - **对偶映射** $T'$ 是从[[对偶空间]] $W'$ 到 $V'$ 的[[线性变换]] $T': W' \to V'$ , 将一个空间的[[线性泛函]]映射到另一个. 对于 $W'$ 中的任意线性泛函 $\psi \in W'$, 对偶映射定义为 $T' (\psi) =\psi\circ T= \psi(T)$, $T' (\psi)\in V'$, 即 $\psi$ 与 $T$ 的复合映射, 因为 $V\xrightarrow{T} W\xrightarrow{\psi}\mathbb{F}$ 这个过程就是 $V'$ 中的泛函 - $T: V \to W$ , $v\in V$ - $\psi:W\to \mathbb{F}$ , $\psi \in W'$ - $T': W' \to V'$ , $T' (\psi)\in V'$ - $T' (\psi) =\psi\circ T= \psi(T)$ - $T' (\psi)(v)= \psi(T(v))$ $\begin{array}{ccc} V & \xrightarrow{T} & W \\ \updownarrow & & \updownarrow \\ V' & \xleftarrow{T'} & W' \end{array}$ >[!example]- 对偶映射 >- $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 3x - y \\ x + y \end{pmatrix}$, $T': (\mathbb{R}^3)' \to (\mathbb{R}^2)'$ > - $(\mathbb{R}^2)'$, $(\mathbb{R}^3)'$ 分别是 $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^2$ 的对偶空间, 分别由相应的线性泛函 (即行向量) 组成 > - $T'$ 将 $(\mathbb{R}^3)'$ 的线性泛函 $\psi$ 映射为 $(\mathbb{R}^2)'$ 的线性泛函 $T' (\psi)$ > - 设 $\psi=(a_1,a_2,a_3)$ > - $T' (\psi)(x,y)= \psi(T(x,y))$ , $T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 3x - y \\ x + y \end{pmatrix}$ > - $T' (\psi)(x,y)= a_1(x + 2y)+a_2(3x - y)+a_3(x+y)=(α_1​+3α_2​+α_3​)x+(2α_1​−α_2​+α_3​)y$ > - $T' (\psi)= \begin{pmatrix} α_1​+3α_2​+α_3 \\ 2α_1​−α_2​+α_3​ \end{pmatrix}$ > - 则标准基下 > - $T = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ > - $T' =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$