##### 对偶映射的矩阵 - 对偶映射的矩阵 - **对偶映射的矩阵**是原[[线性变换]]矩阵的[[矩阵转置|转置]]. 设[[线性变换]] $T: V \to W$, 矩阵表示为 $A$, 设[[对偶映射]] $T': W' \to V'$, 矩阵表示为 $C$, 则 $C=A^T$ - $T: V \to W$, $A$ - $T': W' \to V'$, $C=A^T$ - 设 $V$ 和 $W$ 的[[向量空间的基|基]]为 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\}$, $\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_m\}$, 设 $V'$ 和 $W'$ 的[[对偶基]]为 $\{\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_n\}$, $\{\psi_1, \psi_2, \dots, \psi_m\}$. 对偶映射可表示为 $T' (\psi) =\psi\circ T$, 并且每个对偶基向量满足克罗内克函数 - $\phi_i(\mathbf{v}_k)=\delta_{ik}$, $i,k=\{1,2,\dots,n\}$ - $\psi_j(\mathbf{w}_l)=\delta_{jl}$, $j,l=\{1,2,\dots,m\}$ - 将 $T'(\psi_j)$ 表示为对偶基 $\{\phi_i\}$ 的坐标向量 - $\displaystyle T'(\psi_j) = \sum_{i=1}^{n} c_{ij} \phi_i$, 其中 $c_{ij}$​ 是矩阵 $C$ 的元素 - 将 $T(\mathbf{v}_k)$ 表示为基 $\{\mathbf{w}_l\}$ 的坐标向量 - $\displaystyle T(\mathbf{v}_k) = \sum_{l=1}^{m} a_{lk} \mathbf{w}_l$, 其中 $a_{lk}$​ 是矩阵 $A$ 的元素 - 则将对偶映射作用在 $\mathbf{v}_k$ 上 - $\displaystyle(\psi_j \circ T)(\mathbf{v}_k) = T'(\psi_j)(\mathbf{v}_k) = \sum_{i=1}^{n} c_{ij} \phi_i (\mathbf{v}_k)=c_{kj}$, 只有 $i=k$ 时 $\phi_k (\mathbf{v}_k)=1$ - $\displaystyle(\psi_j \circ T)(\mathbf{v}_k) = \psi_j(T(\mathbf{v}_k)) = \psi_j(\sum_{l=1}^{m} a_{lk} \mathbf{w}_l) = \sum_{l=1}^{m} a_{lk} \psi_j(\mathbf{w}_l)=a_{jk}$, 只有 $l=j$ 时 $\psi_j (\mathbf{v}_j)=1$ - 所以 $c_{kj}=a_{jk}$, $C=A^T$ >[!example]- 对偶映射 >- $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 3x - y \\ x + y \end{pmatrix}$, $T': (\mathbb{R}^3)' \to (\mathbb{R}^2)'$ > - $(\mathbb{R}^2)'$, $(\mathbb{R}^3)'$ 分别是 $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^2$ 的对偶空间, 分别由相应的线性泛函 (即行向量) 组成 > - $T'$ 将 $(\mathbb{R}^3)'$ 的线性泛函 $\psi$ 映射为 $(\mathbb{R}^2)'$ 的线性泛函 $T' (\psi)$ > - 设 $\psi=(a_1,a_2,a_3)$ > - $T' (\psi)(x,y)= \psi(T(x,y))$ , $T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 3x - y \\ x + y \end{pmatrix}$ > - $T' (\psi)(x,y)= a_1(x + 2y)+a_2(3x - y)+a_3(x+y)=(α_1​+3α_2​+α_3​)x+(2α_1​−α_2​+α_3​)y$ > - $T' (\psi)= \begin{pmatrix} α_1​+3α_2​+α_3 \\ 2α_1​−α_2​+α_3​ \end{pmatrix}$ > - 则标准基下 > - $T = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ > - $T' =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$