##### 对偶空间 - 对偶空间 - **对偶空间** $V'$ 与[[向量空间]] $V$ 成对存在, 它包含了从 $V$ 到域 $\mathbb{F}$ 上所有的[[线性泛函]], 即 $V'=L(V,\mathbb{F})$, 对偶空间的元素就是线性泛函, 也可称为对偶向量或协变向量, 将对应向量空间中的向量映射到域上, 代表对向量的某种测量或评估. 对于有限维向量空间 $\dim V'=\dim V$, [[对偶基]]是对偶空间的基. [[对偶映射]]将一个对偶空间映射到另一个 - $V'={L}(V,\mathbb{F})=\{\varphi \mid \varphi :V\rightarrow \mathbb{F} \}$ >[!example]- 对偶空间 >- $V = \mathbb{R}^2$, $V' = \mathbb{R}^2$ > - 如果 $V$ 都是列向量 $\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}$ , 那么线性泛函可以表示为某个行向量 $\begin{bmatrix} a& b\end{bmatrix}$ > - 因此 $V'$ 可以视为所有这样的行向量构成的空间 > - 对偶空间中的每个线性泛函 $f \in V'$ 可以表示为 $f(x,y)=ax+by$