##### 左右极限 - 左右极限 - **左右极限**是[[实函数]]的一种单侧极限, [[函数极限]]存在当且仅当左右极限存在且相等. 对于单变量实函数 $f(x)$, 定义域 $D_f \subseteq \mathbb{R}$, 左右极限描述了当自变量 $x$ 分别从左侧或右侧趋向某点 $x_0$ 时, 函数值 $f(x)$ 的趋近行为 - 左极限, 若对于任意 $\varepsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得当 $x_0 - \delta < x < x_0$ 且 $x \in D_f$ 时, 恒有 $|f(x) - A^-| < \varepsilon$, 则称 $\displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A^-$ - 右极限, 若对于任意 $\varepsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得当 $x_0 < x < x_0 + \delta$ 且 $x \in D_f$ 时, 恒有 $|f(x) - A^+| < \varepsilon$, 则称 $\displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A^+$ - 函数极限, $\displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$ > [!example]- 函数左右极限 > - 函数 $x\to0$ 时左右极限的符号问题 > - 函数 $\displaystyle f(x)=\frac{|x|}{x}$, 当 $x\to0$ 时的极限 > - $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-1$, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=1$ 左右极限不相等, 极限不存在