##### 布尔代数 - 布尔代数 - **布尔代数**在抽象代数中是指捕获了[[逻辑联结词|逻辑运算]]和[[集合|集合运算]]二者的根本性质的一个[[代数结构]], 它处理逻辑运算与或非和集合运算交并补, 可定义[[布尔表达式]]和[[布尔函数]]. 布尔代数是一个四元组 $(B, \land, \lor, \neg)$, 其中 $B$ 是一个非空集合, 称为布尔代数的载体集合, $\land$ 和 $\lor$ 是 $B$ 上的二元运算, $\neg$ 是 $B$ 上的一元运算, 并且存在两个特殊的元素 $0$ 和 $1$, 满足下列性质. 布尔代数还可定义为一个[[格|有界分配格]], 其中每个元素有唯一的补元 - 交换律 - $a \land b = b \land a$ - $a \lor b = b \lor a$ - 结合律 - $a \land (b \land c) = (a \land b) \land c$ - $a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c$ - 分配律 - $a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$ - $a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$ - 补元律 - $a \land \neg a = 0$ - $a \lor \neg a = 1$ - 恒等元 - $a \land 1 = a$ - $a \lor 0 = a$ >[!example]- 布尔代数 > - 二元布尔代数 > - $B = \{0, 1\}$, 集合包含两个元素, $0$ 表示假, $1$ 表示真 > - $\land$ 与, 逻辑且 > - $\lor$ 或, 逻辑或 > - $\lnot$ 非, 逻辑否定 > - $0$ 零元素, 逻辑假 > - $1$ 单位元素, 逻辑真 > - 幂集布尔代数 > - $B = \mathcal{P}(S)$, 集合 $B$ 是 $S$ 的幂集, 即 $S$ 的所有子集 > - $\land$ 与, 集合的交运算 $\cap$, 即 $A \land B = A \cap B$ > - $\lor$ 或, 集合的并运算 $\cup$, 即 $A \lor B = A \cup B$ > - $\lnot$ 非, 集合的补运算, 相对于全集 $S$, 即 $\lnot A = S \setminus A$ > - $0$ 零元素, 空集 $\emptyset$ > - $1$ 单位元素, 全集 $S$