##### 幂函数 - 幂函数 - **幂函数**是基于[[指数运算]]的[[映射]], 以自变量 $x$ 为底数, 以常数 $a$ 为指数, 指数主要考虑[[有理数]], [[实数]]和[[复数]]. 从实数指数开始幂函数定义于[[指数函数|自然指数函数]]和[[对数函数|自然对数函数]], 不再是代数式, 而是代数式的极限, 极限不再是代数构造, 而是属于分析或者说拓扑. 对于复数指数是[[多值函数]] - $f(x)=x^{\frac{b}{a}}=\sqrt[a]{x}^b$ - $f(x)=x^a=e^{a\ln{x}}$ - $f(z)=z^{\frac{b}{a}}= r^{\frac{b}{a}} e^{i \frac{b}{a} (\theta + 2k\pi)}$ - $f(z)=z^w = e^{w (\ln r + i(\theta + 2k\pi))} = e^{w \ln r} e^{iw(\theta + 2k\pi)}$ | 奇偶性 | $k$ | $m$ | $n$ | 定义域 | 值域 | 示例 | | ------------------------------ | --- | --- | --- | -------------------------- | -------------------------- | -------------------------------------------------------------------- | | [[opentext_数学_幂函数1.png\|奇函数]] | 正 | 奇数 | 奇数 | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | 如 $y=x$, $y=x^3$, $y=x^{\frac{1}{3}}$ | | [[opentext_数学_幂函数2.png\|奇函数]] | 负 | 奇数 | 奇数 | $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ | $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ | 如 $y=x^{-1}$, $y=x^{-3}$, $y=x^{-\frac{1}{3}}$ | | [[opentext_数学_幂函数3.png\|偶函数]] | 正 | 偶数 | 奇数 | $\mathbb{R}$ | $[0,+\infty)$ | 如 ${y=x^2}$, $y=x^4$, $y=x^{\frac{2}{3}}$ | | [[opentext_数学_幂函数4.png\|偶函数]] | 负 | 偶数 | 奇数 | $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ | $(0,+\infty)$ | 如 ${y=x^{-2}}$, $y=x^{-4}$, $y=x^{-\frac{2}{3}}$ | | [[opentext_数学_幂函数5.png\|非奇非偶]] | 正 | 奇数 | 偶数 | $[0,+\infty)$ | $[0,+\infty)$ | 如 ${y=x^{\frac{1}{2}}}$, $y=x^{\frac{1}{4}}$, $y=x^{\frac{3}{2}}$ | | [[opentext_数学_幂函数6.png\|非奇非偶]] | 负 | 奇数 | 偶数 | $[0,+\infty)$ | $[0,+\infty)$ | 如 ${y=x^{-\frac{1}{2}}}$, $y=x^{-\frac{1}{4}}$, $y=x^{-\frac{3}{2}}$ | <div style="text-align: center;"><iframe scrolling="no" title="幂函数" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pgrnfvmg/width/640/height/480/border/888888/sfsb/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640" height="480" style="border:0px;"> </iframe></div>