##### 幂级数 - 幂级数 - **幂级数**是指[[函数项级数]]中每一项都是[[幂函数]], 一个关于变量 $x$ 的幂级数一般定义为 $\sum^{\infty}_{n=0}a_n(x-x_0)^n$, 其中 $a_n$ 为系数, $x=x_0$ 为中心点, 幂级数在中心点必定收敛, 中心点周围收敛的范围称为[[柯西-阿达玛定理|收敛半径]] $R$. 幂级数在收敛区间内[[绝对收敛]], 并在任意紧子区间内[[一致收敛]], 具有一些[[幂级数运算]]. 可以将函数[[幂级数展开|展开]]成幂级数, 即[[泰勒级数]], 并且定义[[解析函数]] - $\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots$ - $R=0$, 仅在 $x=a$ 收敛, 其余点发散 - $0<R<\infty$, 当 $|x-a|<R$ 时收敛, $|x-a|>R$ 时发散, 在端点 $a+R$ 和 $a-R$ 不确定 - $R=\infty$, 对每个 $x$ 收敛 > [!example]- 幂级数 > - 求级数 $\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n+1}$ 和函数 > - 先求收敛域, 由比值审敛法得收敛域为 $[-1,1)$ > - 设和函数 > - $\displaystyle s(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n+1}$, $x\in[-1,1)$ > - 则 $\displaystyle xs(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{n+1}}{n+1}$ > - 逐项求导 > - $\displaystyle(xs(x))'=\sum^{\infty}_{n=0}(\frac{x^{n+1}}{n+1})'=\sum^{\infty}_{n=0}x^n=\frac{1}{1-x}$ > - 两边积分 > - $\displaystyle xs(x)=\int^{x}_{0}\frac{1}{1-t}{\rm d}t=-\ln(1-x)$ > - 则 $x\neq0$ 时 ,$\displaystyle s(x)=-\frac{1}{x}\ln(1-x)$ > - 又和函数连续性, 所以 $\displaystyle s(0)=\lim_{x\to0}s(x)=1$ > - 求级数 $\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}nx^{n-1}$ 和函数 > - 先求收敛域, 由比值审敛法得收敛域为 $(-1,1)$ > - 逐项积分 > - $\displaystyle \int^{x}_{0}(\sum^{\infty}_{n=1}nx^{n-1}){\rm d}x=\sum^{\infty}_{n=1}(\int^{x}_{0}nx^{n-1}{\rm d}x)=\sum^{\infty}_{n=1}x^n=\frac{x}{1-x}$ > - 两边求导 > - $\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ > - 所以和函数 > - $\displaystyle s(x)=\frac{1}{(1-x)^2}, x\in(-1,1)$