##### 幂级数展开 - 幂级数展开 - **幂级数展开**就是说能否找到这样一个[[幂级数]], 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的[[实函数]] $f(x)$. 如果能找到这样的幂级数我们就说函数 $f(x)$ 在该区间内能展开成幕级数, 而这个幂级数在该区间内就表达了函数, 即[[泰勒级数]] - 假设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 某邻域内能够展开成幂级数, 即有 - $\displaystyle f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}c_n(x-x_0)^n$ - $f(x)=a_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+...+c_n(x-x_0)^n+...$ - 重复逐项求导可得 - $\displaystyle f'(x)=c_1+2c_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+...+nc_n(x-x_0)^{n-1}+...$ - $\displaystyle f''(x)=1\cdot2c_2+2\cdot3a_3(x-x_0)+3\cdot4a_4(x-x_0)^2+...+(n-1)\cdot nc_n(x-x_0)^{n-2}+...$ - $\displaystyle f'''(x)=1\cdot2\cdot3a_3+2\cdot3\cdot4a_4(x-x_0)+3\cdot4\cdot5a_5(x-x_0)^2+...+(n-2)\cdot(n-1)\cdot nc_n(x-x_0)^{n-2}+...$ - $\cdots$ - $\displaystyle f^{(n)}(x)=n!c_n+(n+1)!c_{n+1}(x-x_0)+\frac{(n+2)!}{2!}c_{n+2}(x-x_0)^2+...$ - 等式在 $x=x_0$ 成立 - $f'(x_0)=c_1$ - $f''(x_0)=1\cdot2c_2$ - $f'''(x_0)=1\cdot2\cdot3a_3$ - $\cdots$ - $f^{(n)}(x_0)=n!c_n$ - 可得 $c_n$ - $\displaystyle c_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ - 所以如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 某邻域内能够展开成幂级数, 必定是泰勒级数 - $f(x)=\displaystyle f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+...$