##### 广义傅里叶级数 - 广义傅里叶级数 - **广义傅里叶级数**是[[希尔伯特空间]]中利用[[希尔伯特基]]来构造向量最佳逼近[[序列级数|级数]]的显式方法, 是经典[[傅里叶级数]]的推广, 将函数在任意正交基上的展开形式化, 而不仅是正弦和余弦函数, 本质上就是将向量[[正交投影]]到某个子空间上的过程. 设 $\{e_\alpha\}_{\alpha \in A}$​ 是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 中一个希尔伯特基, 对于任意向量 $x \in \mathcal{H}$, 其傅里叶展开定义为 $x'$, 该级数收敛到 $x' \in \overline{\text{span}}\{e_\alpha\}$, $x'$ 是 $x$ 在该子空间中的最佳逼近, 其中[[内积]] $\langle x, e_\alpha \rangle$ 给出 $x$ 在 $e_\alpha$ 方向上的分量, 满足贝塞尔不等式, 等号成立当且仅当 $x \in \overline{\text{span}}\{e_\alpha\}$ - $\displaystyle x' = \sum_{\alpha \in A} \langle x, e_\alpha \rangle e_\alpha$, $\displaystyle \sum_{\alpha \in A} |\langle x, e_\alpha \rangle|^2 \leq \|x\|^2$