##### 序列极限 - 序列极限 - **序列极限**是[[序列]]的项最终趋向的元素, 记作 $\lim^{}_{n \to \infty}a_n$, 如果这样的极限存在并且是有限的, 则该序列称为收敛的, 不收敛的数列称为发散数列, 序列极限可以在任何[[度量空间]]或[[拓扑空间]]中定义, 但通常首先在实数中学习. 有[[数列极限]]和[[函数序列极限]]. 特别的有[[集合序列极限]] - 设度量空间 $(X, d)$, 序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $L$, 如果对任意 $\varepsilon > 0$, 存在一个自然数 $N$, 使得当 $n \geq N$ 时 $d(x_n, L) < \varepsilon$. 也就是说, 随着 $n \to \infty$, 序列 $\{x_n\}$ 中的每一项逐渐接近点 $L$, 且距离可以任意小 - 设拓扑空间 $(X, \mathcal{T})$, 序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $L$, 如果对任意邻域 $U_L$, 存在一个自然数 $N$, 使得当 $n \geq N$ 时 $x_n\in U_L$. 也就是说, 随着 $n \to \infty$, 序列 $\{x_n\}$ 中的每一项都在点 $L$ 的邻域中, 且邻域可以任意小