##### 开集 - 开集 - **开集**是描述[[度量空间]]或[[拓扑空间]]中那些不包含其边界的开放区域的[[集合]]. 度量空间中用[[邻域]]定义, 拓扑空间中用[[拓扑]]公理定义, 满足任意并集封闭和有限交集封闭. 开集的补集称为[[闭集]]. 集合可以又开又闭, 开集和闭集不是完全对立的 - 度量空间 $S$ 中的集合 $U$ 是开集, 当且仅当存在距离差 $\varepsilon>0$ 使得任意点 $x\in U$ 的邻域被包含 $B(x,\varepsilon)\subseteq U$ . 换句话说, 开集中的每个点都有一个小邻域完全包含在这个集合内 - 拓扑空间 $S$ 中任何拓扑 $\mathcal{T}$ 的元素 $U\in \mathcal{T}$ 都被称为开集 >[!example]- 开集 > - 对于实数 $\mathbb{R}$ 上的标准拓扑, 区间 $[a, b]$ 是闭集, 因为其补集 $(-\infty, a) \cup (b, +\infty)$ 是开集. 类似地 $[a, +\infty)$ 是闭集, 其补集 $(-\infty, a)$ 是开集. 区间 $[a, b)$ 既非开集也非闭集