##### 张成空间 - 张成空间 - **张成空间**表示[[向量组]]所有[[线性组合]]的集合, 即表示 $k_1\mathbf{a_1}+k_2\mathbf{a_2}+\cdots+k_n\mathbf{a_n}=\mathbf{b}$ 的集合, 张成空间是向量组的最小[[子空间]]. **向量组等价**指两个向量组张成空间相同 - 记作 ${\rm Span}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}\}$ - $\mathbf{0}\in{\rm Span}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}\}$ - [[向量|零向量]] $\mathbf{0}$ 属于任意向量组的张成空间 - $\mathbf{b}\in{\rm Span}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}\}$ - 判断向量 $\mathbf{b}$ 是否属于 ${\rm Span}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}\}$ , 就是在判断是否可以[[线性组合|线性表示]], 即[[线性方程组等价形式|向量方程]] $x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2}+\cdots+x_n\mathbf{a_n}=\mathbf{b}$ 是否有解 - ${\rm Span}\{\mathbf{a}\}=\{c_1\mathbf{a}\mid c_1\in\mathbb{R}\}$ - 设非零向量 $\mathbf{a}\in\mathbb{R}^3$, 那么 ${\rm Span}\{\mathbf{a}\}$ 就是 $\mathbf{a}$ 所有标量倍数的集合, 也就是 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{0}$ 的直线 - ${\rm Span}\{\mathbf{a},\mathbf{b}\}=\{c_1\mathbf{a}+c_2\mathbf{b}\mid c_1,c_2\in\mathbb{R}\}$ - 设非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^3$, 如果 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 线性相关，则 ${\rm Span}\{\mathbf{a},\mathbf{b}\}$ 将是一条过 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{0}$ 的直线。如果 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 线性无关，则 ${\rm Span}\{\mathbf{a},\mathbf{b}\}$ 将是一个过 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{0}$ 的二维平面 >[!example]- 张成空间 >- $\mathbf{a_1} = (1, 2)$ > - ${\rm Span}\{\mathbf{a_1}\}=\{c_1\mathbf{a_1}\mid c_1\in\mathbb{R}\}$ > - 通过选择不同的标量 $c_1$ 我们可以得到不同的结果向量. 这些结果向量构成了由 $\mathbf{a_1}$​ 张成的空间, 即张成空间, 就是一个 $2$ 维实向量空间的子空间, $1$ 个向量张成空间是一条直线 > - $\mathbf{a_1} = (1, 2)$, $\mathbf{a_2} = (3, 4)$ > - ${\rm Span}\{\mathbf{a_1},\mathbf{a_2}\}=\{c_1\mathbf{a_1}+c_2\mathbf{a_2}\mid c_1,c_2\in\mathbb{R}\}$ > - 通过选择不同的标量 $c_1,c_2$ 我们可以得到不同的结果向量. 这些结果向量构成了由 $\mathbf{a_1},\mathbf{a_2}$​ 张成的空间, 即张成空间, 就是一个 $2$ 维实向量空间的子空间, 两个不共线向量恰好张成了$2$ 维实向量空间 > - 如果取 $c_1=1,c_2=0$，则得到向量 $(1,2)$ > - 如果取 $c_1=0,c_2=1$，则得到向量 $(3,4)$ > - 如果取 $c_1=1,c_2=1$，则得到向量 $(4,6)$ > - 依此类推