##### 张量 - 张量 - **张量**是[[向量空间的张量积|张量积]]的元素, 如同[[向量]]是向量空间的元素, 尽管张量通常由[[向量空间的基|基]]上的分量来表示, 但是其定义也不依赖基. 张量就是[[多重线性泛函]], 也就是说, 输入若干个向量, 输出一个数, 而且赋值关于每个向量都是线性的. 将张量积的向量空间分为两类, 则张量可定义为从 $p$ 个[[向量空间]]和 $q$ 个[[对偶空间]]映射到标量的多重线性泛函, 称为 $(p,q)$ 型张量或 $p+q$ 阶张量, 接受 $p$ 个逆变向量和 $q$ 个协变向量. 设 $\{ e_i \}$ 是 $V$ 的基底, $\{ e^j \}$是 $V'$ 的[[对偶基]], 满足 $e^j(e_i) = \delta_i^j$, 则任意 $(p,q)$ 型张量 $T$ 可以写成下式, 其中 $T^{i_1 \dots i_p}_{j_1 \dots j_q}$​ 是张量的坐标分量, 并且可以用矩阵表示, 例如 $0$ 阶张量是标量, $1$ 阶张量是向量, $2$ 阶张量是矩阵. 由于变换方式的不同, 张量分成指标在下的协变张量, 指标在上的逆变张量和指标上下都有的混合张量. 可进行[[张量运算]], [[张量基的变换]]和[[张量指标升降]], 可构造[[张量代数]], [[张量场]], 具有[[爱因斯坦求和约定]] - $T: \underbrace{V \times\dots\times V}_{p} \times \underbrace{ V' \times\dots\times V'}_{q} \rightarrow \mathbb{F}$ - $T^p_q = T^{i_1 \dots i_p}_{j_1 \dots j_q} e_{i_1} \otimes \dots \otimes e_{i_p} \otimes e^{j_1} \otimes \dots \otimes e^{j_q}$ - [[对称张量]] - [[交错张量]] - [[度量张量]] >[!example]- 张量 > - 在给定的向量空间 $V$ 上 > - (0,0)-张量是它的基域 $\mathbb{F}$ 中元素, 也称为标量 > - (0,1)-张量是它的[[向量]] > - (1,0)-张量对应于上面的[[线性泛函]] > - (1,1)-张量对应于上面的[[线性算子]] > - (2,0)-张量对应于上面的[[双线性泛函]]