##### 张量积的泛性质 - 张量积的泛性质 - **张量积的泛性质**指[[向量空间的张量积|张量积]]可以将[[多重线性变换]]化为[[线性变换]], 并且是最小化的转换方法. 设张量积 $V_1 \otimes V_2 \otimes \cdots \otimes V_k$ , 则存在一个自然的多重线性变换 $\phi$ 将直积映射为张量积, 并且对任意多重线性变换 $f$ 存在唯一线性变换 $\tilde{f}$ 使得 $f=\tilde{f}\circ \phi$ - $\phi: V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_k \to V_1 \otimes V_2 \otimes \cdots \otimes V_k$ - $f: V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_k \to W$ - $\tilde{f}: V_1 \otimes V_2 \otimes \cdots \otimes V_k \to W$ - $f(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k) = \tilde{f}(\phi(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k))$ >[!example]- 张量积的泛性质 > - $f: V \times W \to \mathbb{R}$, $f((x_1, x_2), (y_1, y_2, y_3)) = x_1y_1 + x_2y_2$ > - 设 $V = \mathbb{R}^2$ 的标准基为 $\{e_1, e_2\}$ > - $e1=(1,0),e2=(0,1)$ > - 设 $W = \mathbb{R}^3$ 的标准基为 $\{f_1, f_2, f_3\}$ 即 > - $f1=(1,0,0),f2=(0,1,0),f3=(0,0,1)$ > - 张量积 $V \otimes W=\mathbb{R}^6$ 的基由这些基向量的张量积生成 > - $\{e_1 \otimes f_1, e_1 \otimes f_2, e_1 \otimes f_3, e_2 \otimes f_1, e_2 \otimes f_2, e_2 \otimes f_3\}$ > - 对 $f$ 计算其在 $V \times W$ 的基 $\{e_i \times f_j\}$ 上的值 > - $f(e_1, f_1) = 1, \quad f(e_1, f_2) = 0, \quad f(e_1, f_3) = 0$ > - $f(e_2, f_1) = 0, \quad f(e_2, f_2) = 1, \quad f(e_2, f_3) = 0$ > - 因此 $\hat{f}$​ 在张量积基上的值是 > - $\hat{f}(e_1 \otimes f_1) = 1, \quad \hat{f}(e_1 \otimes f_2) = 0, \quad \hat{f}(e_1 \otimes f_3) = 0$ > - $\hat{f}(e_2 \otimes f_1) = 0, \quad \hat{f}(e_2 \otimes f_2) = 1, \quad \hat{f}(e_2 \otimes f_3) = 0$ > - 对于任意 $v \in V$ 和 $w \in W$ 可以表示为 > - $v = x_1 e_1 + x_2 e_2, \quad w = y_1 f_1 + y_2 f_2 + y_3 f_3$ > - 张量积为 > - $v \otimes w = (x_1 e_1 + x_2 e_2) \otimes (y_1 f_1 + y_2 f_2 + y_3 f_3)$ > - 展开后 > - $v \otimes w = x_1 y_1 (e_1 \otimes f_1) + x_1 y_2 (e_1 \otimes f_2) + x_1 y_3 (e_1 \otimes f_3) + x_2 y_1 (e_2 \otimes f_1) + x_2 y_2 (e_2 \otimes f_2) + x_2 y_3 (e_2 \otimes f_3)$ > - 在线性映射 $\hat{f}$ 下, 计算 > - $\hat{f}(v \otimes w) = x_1 y_1 \cdot 1 + x_1 y_2 \cdot 0 + x_1 y_3 \cdot 0 + x_2 y_1 \cdot 0 + x_2 y_2 \cdot 1 + x_2 y_3 \cdot 0$ > - 最终结果为 > - $\hat{f}(v \otimes w) = x_1 y_1 + x_2 y_2$ > - 这说明 $\hat{f}$​ 是从 $V \otimes W \to \mathbb{R}$ 的线性映射, 其具体表现与 $f$ 在 $V \times W$ 上的多重线性行为一致。