##### 循环置换 - 循环置换 - **循环置换**是一种特殊的[[置换]], 作用在一组元素上最终可以回到起点, 循环符号描述了对集合元素重复应用置换的效果. 对元素 $x$ 应用置换 $p$, 然后继续对结果再应用 $p$, 直到回到原始的 $x$. 可以定义 $i$ 为最小的正整数, 使得 $p^i(x) = x$, 也就是说, 连续 $i$ 次应用 $p$, 会回到 $x$ 本身, 于是有长度为 $i$ 的循环置换, 长度为 $2$ 称为[[对换置换]]. 每个置换都可以唯一分解为一组互不相交的循环的复合 - $x, p(x), p^2(x), ..., p^{i-1}(x)$ >[!example]- 循环置换 > - 设 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{pmatrix}$, 我们想把它写成循环符号 > - 从 $1$ 开始, $1 \rightarrow 3 \rightarrow 1$, 得 $(1\ 3)$ > - 从 $2$ 开始, $2 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 2$, 得 $(2\ 4\ 5)$ > - 因此, 循环符号是 > - $\sigma = (1\ 3)(2\ 4\ 5)$