##### 循环群 - 循环群 - **循环群**是指能由单个元素所[[群的生成集|生成]]的[[群]], 所有循环群都是[[交换群]], 有限循环群同构于整数同余加法群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$, 无限循环群则同构于整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$. 循环群内任意一个元素所生成的群都是循环群并且是其[[子群]] - $(G,\cdot)$ 是一个群, $\exists a \in G$, $G = \langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ >[!example]- 循环群 >- 整数模 $6$ 的加法群 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, 可由元素 $1$ 进行循环加法生成, 即 $1^1 = 1 \mod 6$, $1^2 = 2 \mod 6$, $1^3 = 3 \mod 6$, $1^4 = 4 \mod 6$, $1^5 = 5 \mod 6$, $1^6 = 0 \mod 6$, 所以是一个循环群, 生成元为 $1$